二次函数的应用
解题技巧
函数应用题的解题技巧是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题,充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透.下面就函数应用题的类型及解法举例分析.
一. 函数模型为反比例函数问题
例1:学校请了30个木匠,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10:7,问30个木匠应当如何分组(一组制课桌另一组制椅子),能使完成全部任务最快?
分析:对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想,建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程的观点去解,使应用问题化生为熟,尽快得到解决.
设x个木匠制课桌,(30-x)个木匠制椅子,一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为函数,制作200把椅子所需时间为函数 ,完成全部任务所需时间为函数y(x)=max{P(x),Q(x)}
要求的y(x)的最小值,需满足P(x)=Q(x),即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P(12)与Q(13), P(12)=
Q(13)= 即y(12)>y(13),
所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快.
二.函数模型为一次函数问题
例2:某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社.在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?
分析:此题主要在于分析题目中的条件,建立合适的关系式,应用函数的性质去解决问题,并考虑在定义域内的局限性与实际意义.如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额.而卖报所得的金额分三部分.从而可列出函数解析式.
设每天应从报社买x份,可的250≦x≦400,设每月赚y元,得
y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1050 x∈[250,400]
因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170(元)
答:每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大,每月可赚得1070元.
三.函数模型为一二次函数问题
例3:有(m)长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等矩形组成的矩形,试问小矩形的长宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并算出窗框的最大值.
分析:应用数学知识解决应用型问题,是提高数学素质的训练内容之一,教材中也多出出现,对于此题的分析要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当的构造出函数,应用函数的具体性质去解决问题.本题中面积为两部分够成,而面积就为窗所通过的光线,从而可列出函数解析式进一步解出题目.
设小矩形的长为x, 宽y为 ,则由图形可得:
11x+x+9y= ∴9y=-(11+)x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则
S==+[x-(11+)x2]
=-(x-+.
所以当x= , y=
即=1:1 此时窗框的面积s有最大值S=
四.函数模型为其他函数问题
例4:有甲乙两种商品,销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q(万元),他们与投入资金Q(万元)的关系,有经验公式: 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品,为获得的利润最大,对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得最大的利润是多少?
分析:首先应根据题意,建立利润与资金之间的函数关系,求的函数解析式,然后再转化为求函数的最大值问题.求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化.
设对甲种商品投资x万元,则乙种商品投资(3-x)万元,总利润y万元,据题意有:
Y= ( 0≦x≦3 )
设=t 则x=3-t2, 0≦x≦
所以 y= 0≦x≦
当x=时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25
由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元
总之,函数的应用是数学思想的体现,是应用数学知识解决实际问题的有效途经.如果我们学好了这部分,在具体的题目中会分析题目,找出关系量之间的联系,建立适当的函数关系式,把实际问题转化为数学模型,然后利用初等函数的性质,去解决问题.使抽象问题数学化,化生为熟.
在某次数字变换游戏中,我们把整数0,1,2.…,100称为“旧数”,游戏的变换规则是:将旧数先平方,再除以100,所得到的数称为“新数”。 (1)请把旧数80和26按照上述规则变换为新数;
(2)经过上述规则变换后,我们发现许多旧数变小了.有人断言:“按照上述变换规则,所有的新数都不等于它的旧数。”你认为这种说法对吗?若不对,请求出所有不符合这一说法的旧数;
(3)请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数(要写出解答过程)某市场将进货价为40元/件的商品按60元/件售出,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价1元/件,每星期该商品要少卖出10件。
(1)请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润y(元)与该商品每件涨价x(元)间的函数关系式;
(2)每月该商场销售该种商品获利能否达到6300元?请说明理由;
(3)请分析并回答每件售价在什么范围内,该商场获得的月利润不低于6160元?已知:如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0) 与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0)。 (1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ当△CQE的面积为3时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0)。问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求出这条抛物线的函数解析式;
(3)若要搭建一个矩形"支撑架"AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个"支撑架"总长的最大值是多少?公司准备投资开发A、B两种新产品,通过市场调研发现:如果单独投资A种产品,则所获利润(万元)与投资金额x(万元)之间满足正比例函数关系:yA=kx;如果单独投资B种产品,则所获利润(万元)与投资金额x(万元)之间满足二次函数关系:yB=ax2+bx,根据公司信息部的报告,yA,yB(万元)与投资金额x(万元)的部分对应值(如下表) (1)填空:yA=_________; yB=___________;
(2)如果公司准备投资20万元同时开发A,B两种新产品,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元?
(3)如果公司采用以下投资策略:相同的投资金额哪种方式获利大就选哪种,且财务部给出的投资金额为10至15万元。请你帮助保障部预测(直接写出结果):公司按这种投资策略最少可获利多少万元?如图,已知直线AB经过点C(1,2),与x轴、y轴分别交于A点、B点,CD⊥x轴于D,CE⊥y轴于E,CF与x轴交于F。 (1)当直线AB绕点C旋转到使时,求直线AB的解析式;
(2)若,当直线AB绕点C旋转到使FC⊥AB时,求BC的长;
(3)在(2)成立的情况下,将ΔFOG沿y轴对折得到(F、O、G的对应点分别为),把沿x轴正方向平移到使得点与点A重合,设在平移过程中与四边形CDOE重叠的面积为y,的长为x,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0),B(0,-4), C(2,-4)三点,且与x轴的另一个交点为E。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点D的坐标和对称轴;
(3)求四边形ABDE的面积。已知抛物线过点A(-2,-3),B(2,5)和C(0,-3)
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)当x=( )时,y有最( )值。已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)和B(3,2)点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,问当⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,当⊙Q与两坐标轴都相切时,求半径r的值。已知抛物线y=x2-2(m+1)x+m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m<5,则整数m的值为( )。 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点P,使得S△PAM=3S△ACM,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。某商场经销一种成本为每千克40元的水产品,经市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨价1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题。
(1)当销售单价定为每千克55元,计算月销售量和月销售利润;
(2)商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?如图,已知抛物线y=mx2+nx+p和y=x2+6x+5关于y轴对称,与y轴交于点M,与x轴交于点A和B。
(1)求函数y=mx2+nx+p的解析式;
(2)试猜想:与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式(不要求证明)
(3)若AB的中点为C点,求sin∠CMB的值;
(4)若一次函数y=kx+b过点M,且与y=mx2+nx+p相交于另一点N(i,j),如果i≠j,且i2-i+z=0和j2-j+z=0,求k的值。已知方程组的解为,又知点A(m,n)在双曲线y=上,求该双曲线的解析式。 某商店进了一批服装,进货单价为50元,如果按每件60元出售,可销售800件,如果每件提价1元出售,其销售量就减少20件。现在要获利12000元,且销售成本不超过24000元,问这种服装销售单价应定多少为宜?这时应进多少件服装? 如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标为(1,4),与x轴一个交点为(3,0)
(1)求二次函数解析式;
(2)若直线y2= -x+2与抛物线交于A、B两点,求y1≥y2时x的取值范围。如图,在平面直角坐标系中,以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是⊙C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒)
(1)当t=1时,得P1、Q1两点,求过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l;
(2)当t为何值时,PC⊥QC;此时直线PQ与⊙C是什么位置关系?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,(1)中的抛物线对称轴l上存在一点N,使得NP+NQ最小,求出点N的坐标。抛物线与坐标轴交点如图所示,一次函数y=k(x-2)的图像与该抛物线相切(即只有一个交点)。又该抛物线与y轴交于点(0,-2)
(1)该一次函数y=k(x-2)图像所经过的定点的坐标为( );
(2)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(3)求该一次函数的表达式。东海体育用品商场为了推销某一运动服,先做了市场调查,得到数据如下表: (1)以x作为点的横坐标,p作为纵坐标,把表中的数据,在图中的直角坐标系中描出相应的点,观察连结各点所得的图形,判断p与x的函数关系式;
(2)如果这种运动服的买入件为每件40元,试求销售利润y(元)与卖出价格x(元/件)的函数关系式(销售利润=销售收入-买入支出);
(3)在(2)的条件下,当卖出价为多少时,能获得最大利润?抛物线y=x2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式为 [ ] A.y=x2+4x+3
B. y=x2+4x+5
C. y=x2-4x+3
D.y=x2-4x-5如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,DE∥AC,交AB与点E,点F在AC上,DC=DF,若BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。 某农场为防风治沙,在一山坡上种植一片树苗,并安装了自动喷灌设备。已知喷水头喷出的水流成抛物线形,如图所示建立直角坐标系。已知喷水头B高出地面1.5米,水流最高点C的坐标为(2,3.5),喷水管与山坡的夹角∠BOA约为63°,计算水喷出后落在山坡上的最远距离。 某商品的进价为每件30元.售价为每件70元时,每天可卖出60件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每天可多卖出2件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:
(1)若设每件降价x元、每天售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式;
(2)当每件售价多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B在抛物线y=ax2+ax-2 上。
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)抛物线的关系式为 ;
(3)设(2)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB"C" 的位置.请判断点B"、C" 是否在(2)中的抛物线上,并说明理由。如图,农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业,他准备用40米长的木栏围一个矩形的鸡圈。为了节约材料,同时要使矩形的面积最大,他利用了自己家房屋一面,准备设计如图所示的一个矩形的养鸡圈。设养鸡圈的宽为x米,面积为y平方米。
(1)求y与x的函数关系式;
(2)怎样围,使得围成的养鸡圈面积最大,最大面积是多少?如图,抛物线y=ax2+bx+c交坐标轴于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)。
(1)求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标。
(2)若直线CM与x轴交于点D, E是C关于此抛物线对称轴的对称点,试判断四边形ADCE的形状并说明理由。
(3)若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点,连接BP交y轴正半轴于点N,是否存在点P使△AOC与△BON相似,若存在请直接写出点P的坐标,若不存在请说明理由。己知,如图在直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y= -x+1 。
(1)求线段AC的长和∠ACO的度数。
(2)动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动,动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动,(P、Q两点同时开始移动)设P、Q移动的时间为t秒。
①设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出当t为何值时,S有最小值。
②是否存在这样的时刻t,使得△OPQ与△BCP相似,并说明理由?
(3)在坐标平面内存在这样的点M,使得△MAC 为等腰三角形且底角为30°,写出所有符合要求的点M的坐标。下列哪条抛物线向左平移两个单位,再向上平移一个单位,可得到抛物线y=x2 [ ] A.y=(x-2) 2+1
B.y=(x-2) 2-1
C.y=(x+2) 2+1
D.y=(x+2) 2-1某校九年级(1)班共有学生50人,据统计原来每人用于购买饮料的平均 支出为a元,据测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是开户费780元,其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y桶之间满足如图所示关系。
(1)写出y与x之间的函数关系;
(2)若该班每年需要纯净水380桶,且a为55时,请你根据提供的信息分析一下,该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料,哪一种花钱更少?
(3)当该班学生每年喝掉多少桶纯净水时,供水商年销售额最大?最大为多少?如图,A、B两点的坐标分别为(4,0),(0,3), 动点P从O点出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度 运动,动点Q从B点出发以每秒一个单位的速度向O点 运动,点P、Q分别从O、B同时出发,当Q运动到原点 O时,点P随之停止运动,设运动时间为t(秒)
(1)设△POQ的面积为s,求s与t的函数关系式;
(2)当线段PQ与AB相交于点E,且时,求∠QPO的正切值;
(3)当t为何值时,以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似.已知:如图,一等边三角形ABC纸片的边长为2a,E是AB边上一动点,(点E与点A、B不重合),过点E作EF∥BC,交AC于点F,设EF=x。
(1)用x的代数式表示△AEF的面积;
(2)将△AEF沿EF折叠,折叠后与四边形BCFE 重叠部分的面积为y,求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+(1+2)x+c 经过A(2,0),B(1,n) , C(0,2)三点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段BC的长;
(3)求∠OAB的度数。已知:如图,直角三角形AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上,C为线段OA上一点,OC=OB,抛物线y=x2-(m+1)x+m (m是常数,且m>1)经过A 、C 两点
(1)求出A、B两点的坐标(可用含m的代数式表示);
(2)若△AOB的面积为2,求m的值.已知:如图,抛物线y=x2+bx+c交y轴于点C,过抛物线上一点 A(-3,-)作AM∥x轴,交抛物线于点B,交y轴于点M,连结AC、BC.
(1)若S△ABC=2S△BMC,求这条抛物线对应的函数关系式;
(2)若P为(1)中的抛物线上的任一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,问:是否存在这样的点P,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=-x2+2重合,且顶点坐标为(4,-2),则它的解析式为( )。 如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0)。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值。如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3,与y 轴负半轴交于点C。下面五个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0; ③4a+b+c>0;④只有当a=时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个。那么,其中正确的结论是( )。 某市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口。为了扩大出口规模,该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元。经调查,种植亩数y(亩)与补贴数额x(元)之间大致满足如图1所示的一次函数关系,但种植面积不超过3200亩。随着补贴数额x的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益z(元)会相应降低,且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系,且每亩收益不低于1800元。 (1)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式;
(2)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少?
(3)要使全市这种蔬菜的总收益w(元)最大,政府应将每亩补贴数额x定为多少?并求出总收益w的最大值。如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0), OB=OC ,tan∠ACO=
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度。如图,已知半径为1的⊙O1与x轴交于A、B两点,OM为⊙O1的切线,切点为M,圆心O1的坐标为(2 ,0),二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B两点。 (1)求二次函数的解析式;
(2)求切线OM的函数解析式;
(3)线段OM上是否存在一点P,使得以P,O,A为顶点的三角形与△OO1M相似,若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。已知抛物线y=x2+px+q 与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧)与y轴的负半轴交于点C,若∠ACB=90°,且,求△ABC外接圆的面积。 已知抛物线y=x2+kx+1 与x轴两个交点A、B都在原点左侧,顶点为C,△ABC 是等腰直角三角形,求k的值。 如图,边长为4的正方形ABCD上,CE=1,CF=,直线EF交AB的延长线于G,H为FG上一动点,HM⊥AG,HN⊥AD,设HM=x,矩形AMHN的面积为y。
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形AMHN的面积最大,最大是多少?汽车刹车距离s(m)与速度V(km/h)之间的关系是s=V2。某司机在开车行驶过程中,突然发现前方90m处有障碍物,紧急刹车,问此车当时车速小于( )km/h时,才不会有危险。 如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的小圆O1,与AB切于点M,设⊙O1的半径为y,AM=x,则y关于x的函数关系式是 [ ] A.y= x2+x
B.y=- x2+x
C.y=- x2-x
D.y= x2-x若二次函数y=ax2+c(a ≠0),当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为 [ ] A. a+c
B. a-c
C. -c
D. c已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(2,-3),C(3,0)三点
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,E是抛物线上的点,并且满足△AEC的面积是△ADC面积的3倍,求点E的坐标。
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- 10The present situation is very complex, so I think it will t