题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2 ，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点。（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵圆心O₁的坐标为，⊙O₁半径为1，
∴A（1，0），，
∵二次函数的图象经过点A、B，
∴可得方程组，
解得：，
∴二次函数解析式为
（2）过点M作轴，垂足为F，
∵OQ是⊙O₁的切线，M为切点，
∴ （圆的切线垂直于经过切点的半径）
在中，，
∵∠O₁OM为锐角，
∴ ，
∴，
在中，，
，
∴M点的坐标为，
设切线OM的函数解析式为，
由题意可知，
∴切线OM的函数解析式为；
（3）存在。
①过点A作轴，与交于点P_1，可得
；
②过点A作，垂足为P₂，过P₂点作，垂足为H。
可得，
在中，，∴，
在中，，
，
符合条件的P点坐标是，。