题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y= -x+1 。
（1）求线段AC的长和∠ACO的度数。
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒。
①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最小值。
②是否存在这样的时刻t，使得△OPQ与△BCP相似，并说明理由？
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC 为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。

答案

解：（1）令得  ∴A点坐标为（0，1）
令得 
∴   C点坐标为（，0）
∴
在中， ∵  ∴
（2）P、Q两点同时开始移动t秒时
① ∵ t
∴
t×1
∵
∴
∴当时，最大为
②ⅰ：假设存在∽  ∴  即  ∴
ⅱ：∽  ∴  即   ∴，
（3），，，，，