相似三角形的判定及有关性质

从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点，求证：。

如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
(Ⅰ)求证：AB²=DE·BC；
(Ⅱ)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．

如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB=OA=2，则PF=（    ）。

如图，已知圆O的直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=（    ）。

如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，求证：△POF~△POC。

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB=1，PD=3，则的值为（    ）。

如图，AA₁与BB₁相交于点O，AB∥A₁B₁，且AB=A₁B₁，若△AOB的外接圆的直径为1，则△A₁OB₁的外接圆的直径为（    ）。

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。
（I）证明：△ABE∽△ADC；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小。

∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=（    ）。

如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=（    ）。

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2。E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为（    ）。

如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂），圆O₁的弦AB交圆O₂于点C（O₁不在AB上），求证：AB：AC为定值。

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，
(Ⅰ)证明：△ABE∽△ADC；
(Ⅱ)若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小．

如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC。在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（    ）。 

如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值。

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为（    ）。

小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示。他测得留在地面部分的影子长2.7m， 留在墙壁部分的影高1.2m，求树高的高度（    ）（太阳光线可看作为平行光线）。

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=（    ）。

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD，
（1）求线段PD的长；
（2）若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积．

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积，求∠BAC的大小。

如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF·EC。
（1）求证：A、P、D、F四点共圆；
（2）若AE·ED=24，DE=EB=4，求PA的长。

（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：(1)∠DEA=∠DFA；
(2)AB²=BE·BD-AE·AC。

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长。

AB为圆O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=（    ）。

（选做题）如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=（    ）。

如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE·BF=BC·BD。

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若AC=3，求AP·AD的值。

如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。

（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。

如图，AB，CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2，
(1)求AC的长；
(2)求证：EF=BE。

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD，
(1)求证：EF·EP= DE·EA；
(2)若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．

（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE·BD-AE·AC。

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E。
（1）求证：CD²=DE·DB；
（2）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径。

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC =5，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为
A.
B.
C.
D.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，则EF=（    ）。

如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=（    ）。

如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD=3，AD=4，AB=2，则BC=（    ）。

如下图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为（    ）。

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E。
（1）求证：AB²=DE·BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长。

如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4。
（1）求线段PF的长度；
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。

如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：。

如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，AB=，AD=1，则BE=（    ）

A.1
B.
C.
D.

（选做题）
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E。求AD·DE的值。

（选做题）
如图圆O和圆O′相交于A，B两点，AC是O′圆的切线，AD 是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD。

（选做题）
如图，ΔABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，
（Ⅰ）求证：ΔABE≌ΔACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE。

（选做题）
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE，
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）求证：AG·EF=CE·GD。

（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE·BD-AE·AC。

（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且BD·BE=BA·BF，
求证：（Ⅰ）EF⊥FB；
（Ⅱ）∠DFB+ ∠DBC=90°。

（选做题）
如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；  
（Ⅱ）BC²=BE·CD。

（选做题）如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G。
（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（2）连结FG，设α=45°，AB=4，AF=3，求FG长。