题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB²=AP·AD，
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。

答案

（Ⅰ）证明：连接BP，
∵AB²=AP·AD，
∴，
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，
∴，
在Rt△PAB中，由勾股定理得，
∴。