椭圆
椭圆的方程
中心点为(h,k),主轴平行于x轴时,
标准方程
高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴:1)焦点在X轴时,标准方程为:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)2)焦点在Y轴时,标准方程为:y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0)椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a,F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n)。即标准方程的统一形式。椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是 :xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是:-b²x0/a²y0,这个可以通过很复杂的代数计算得到。[6]
参数方程
x=acosθ , y=bsinθ。求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解x=a×cosβ, y=b×sinβ a为长轴长的一半 b为短轴长的一半
极坐标
(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)r=a(1-e²)/(1-ecosθ)(e为椭圆的离心率=c/a)
椭圆的面积公式及周长
面积公式
(其中分别是椭圆的长半轴、短半轴的长),或(其中分别是椭圆的长轴,短轴的长)。
周长
椭圆周长计算公式:L=T(r+R)T为椭圆系数,可以由r/R的值,查表找出系数T值;r为椭圆短半径;R为椭圆长半径。椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积(包括正圆)。
已知椭圆C的焦点分别为和,长轴长为6,设直线交椭圆C于A、B两点,则线段AB的中点坐标为( )。 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点。
(Ⅰ)若,求k的值;
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值。已知椭圆的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P,过点P的椭圆的切线与x轴相交于点A,则点A的坐标为( )。 如图,已知椭圆的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线交x轴于点K,左顶点为A。 (Ⅰ)求证:KF平分∠MKN;
(Ⅱ)直线AM、AN分别交准线于点P、Q,设直线 MN的倾斜角为,试用表示线段PQ的长度|PQ|,并求|PQ|的最小值。已知直线经过椭圆C:的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线:分别交于M,N两点,如图所示。 (1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值;
(3)当线段MN的长度的最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,请说明理由。已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为5,从这个圆上任一点P向x轴作垂线PP",垂足为P",M为线段PP"上一点,且满足:。
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(II)若过点(3,0)且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点,求弦AB的长。已知△ABC的顶点A,B在椭圆上,C在直线:y=x+2上,且AB∥。
(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;
(Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程。已知,当mn取得最小值时,直线与曲线的交点个数为( )。 设椭圆的左焦点为F1(-2,0),左准线与x轴交于点N(-3,0),过点N倾斜角为30°的直线m交椭圆于A,B两点,
(1)求直线m和椭圆的方程;
(2)求证:点F1(-2,0)在以线段AB为直径的圆上。已知O为坐标原点,点A、B分别在x轴、y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足,设点P的轨迹为曲线C,定点M(4,0),直线PM交曲线C于另外一点Q。
(1)求曲线C的方程;
(2)求△OPQ面积的最大值。已知A、B、C是椭圆M:上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆M的中心,且。 (1)求椭圆M的方程;
(2)过点(0,t)的直线(斜率存在时)与椭圆M交于两点P、Q,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且,求实数t的取值范围。设椭圆(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),左准线与x轴交于点N(-3,0),过点N倾斜角为30°的直线交椭圆于A,B两点。
(1)求直线和椭圆的方程;
(2)求证:点F1(-2,0)在以线段AB为直径的圆上。如图,椭圆的两顶点为A(,0),B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F1,F2。 (1)在线段AB上是否存在点C,使得CF1⊥CF2?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)设过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF2面积的最大值。如图所示,已知圆C:,顶点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足,点N轨迹为曲线E。 (1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足,求λ的取值范围。已知椭圆C:的焦距为4,且与椭圆有相同的离心率,斜率为k的直线经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A,B。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围。已知椭圆(a>b>0)的离心率e=,且过点A(2,0),
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过点A且与椭圆的另一交点为B,若|AB|=,求直线的倾斜角。已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-4y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,)在椭圆M上。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知直线的斜率为,若直线与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值。已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-4y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,)在椭圆M上。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)已知斜率为的直线与椭圆M交于B、C两点,求△ABC面积的最大值。已知动点A,B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且(t是不为零的常数)。设点P的轨迹为曲线C。
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若t=2,点M,N是C上关于原点对称的两个动点(M,N不在坐标轴上),点Q(,3),求△QMN的面积S的最大值。设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点.。
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围。如图,已知椭圆(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线交于A、B、C、D,设f (m)= 题型:AB|-|CD| |。 难度:| 查看答案
(1)求f (m)的解析式;
(2)求f (m)的最大、最小值。
(1)求椭圆P的方程;
(2)是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T,且满足,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,,,求证λ+μ为定值。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q。
(1)求椭圆的方程;
(2)设F1、F2为椭圆的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于P、Q两点,求△PQF1的内切圆半径r的最大值。
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程。
(2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使的值是常数.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若,求直线l的方程。
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)已知e=(t,0),是否对任意的正实数t,λ,都有e·p=0成立?请证明你的结论。
(Ⅰ)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为菱形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;
(Ⅱ)若直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数,求证:直线MN的斜率为;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下△AMN面积是否存在最大值;若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由.
,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,,是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
(I)求椭圆C的焦距;
(Ⅱ)如果,求椭圆C的方程。
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2。
(i)证明:;
(ii)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由。
求:(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值;
(3)当线段MN的长度最小时,Q点在椭圆上运动,记△BPQ的面积为S,当S在(0,+∞)上变化时,讨论S的大小与Q点的个数之间的关系。
(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:为定值。
B.a2=13
C.b2=
D.b2=2
如图,椭圆C:的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,
。
(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,。是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由。
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点,且=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
(2)求的值。