题目

题型：0119 期末题难度：来源：

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，
求：（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。

答案

解：（1）直线l过点M（0，1），
设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
记、
由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解，
将①代入②并化简得，，
所以，
于是，
设点P的坐标为（x，y），则，
消去参数k得， ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为。
（2）由点P的轨迹方程化简，得，
知，即，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为。