题目
题型:江苏难度:来源:
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(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示).
答案
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解法一:不妨设正三角形ABC的边长为3
(1)在图1中,取BE中点D,连接DF.AE:EB=CF:FA=1:2
∴AF=AD=2而∠A=60°,
∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1,
∴EF⊥AD在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.由
题设条件知此二面角为直二面角,A1E⊥BE,又BE∩EF=E(2)
∴A1E⊥平面BEF,
即A1E⊥平面BEP
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(3)在图2中,A1E不垂直A1B,
∴A1E是平面A1BP的垂线,又A1E⊥平面BEP,
∴A1E⊥BE.
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.
在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=60°,
∴△EBP是等边三角形.又A1E⊥平面BEP,
∴A1B=A1P,
∴Q为BP的中点,且EQ=
3 |
在Rt△A1EQ中,tan∠EA1Q=
EQ |
A1E |
3 |
∴∠EA1Q=60°,
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°
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在图3中,过F作FM⊥A1P与M,连接QM,QF,
∵CP=CF=1,∠C=60°,
∴△FCP是正三角形,
∴PF=1.有PQ=
1 |
2 |
∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP,EQ=EF=
3 |
∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴A1P=
5 |
∵MQ⊥A1P,∴MQ=
A1Q•PQ |
A1P |
2
| ||
5 |
∴MF=
2
| ||
5 |
在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=
3 |
在△FMQ中,cos∠FMQ=
MF2+MQ2-QF2 |
2MF•MQ |
7 |
8 |
∴二面角B-A1P-F的大小为π-arccos
7 |
8 |
核心考点
试题【在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1).将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
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AE |
EB |
CF |
FD |
A.f(λ)在(0,+∞)上单调递增 |
B.f(λ)在(0,+∞)上单调递减 |
C.f(λ)在(0,1)上单调递增,而在(1,+∞)上单调递减 |
D.f(λ)在(0,+∞)上为常数 |
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(1)求证:BA′⊥面A′CD;
(2)求异面直线A′C与BD所成角的余弦.
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(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;
(2)证明AF⊥平面A1ED;
(3)求二面角A1-ED-F的正弦值.
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