题目

题型：模拟题难度：来源：

如图：已知椭圆C：（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆x²+y²-6x-2y+7=0相切。

（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且=0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

答案

解：（1）由x²+y²-6x-2y+7=0得
∴圆M的圆心为（3，1），半径
由题意知A（0，1），F（c，0）（）
得直线AF的方程为，即x+cy-c=0
由直线AF与圆M相切得
∴，
故椭圆C的方程为；
（2）由
知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为
将y=kx+1代入
整理得
解得x=0或
因此点P的坐标为
同理，点Q的坐标为
∴直线l的斜率为
直线l的方程为
故直线l过定点。