题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O"与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC，CD是⊙O"的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A，B，C三点。
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形，若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，即OC²=OA·OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线过A，B，C三点，
∴c=4，由题意得，解之得，∴；
②设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（，0），
设直线DC的解析式为y=kx+m，则，即，
∴，
由得顶点E的坐标为，
将E代入直线DC的解析式中，
右边==左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；
（3）存在，P₁（-10，-6），P₂（10，-36）。