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题目
题型:湖北省中考真题难度:来源:
在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H。
(1)直接填写:a=____,b=____,顶点C的坐标为____;
(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标。
答案
解:(1)a=-1,b=-2,顶点C的坐标为(-1,4);(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E,
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°,
又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1,
又∵∠CED=∠DOA=90°,
∴△CED∽△DOA,

设D(0,c),则
变形得,解之得
综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形;(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,
得∠QCP=∠CAH,
延长CP交x轴于M,
∴AM=CM,
∴AM2=CM2
设M(m,0),则(m+3)2=42+(m+1)2
∴m=2,即M(2,0),
设直线CM的解析式为y=k1x+b1
,解之得
∴直线CM的解析式
联立,解之得(舍去),

②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,
得∠PCQ=∠ACH,
过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N,
由△CFA∽△CAH得
由△FNA∽△AHC得
,点F坐标为(-5,1),
设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则,解之得
∴直线CF的解析式
联立,解之得(舍去),

∴满足条件的点P坐标为
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H。(1)直接填写:a=____,b=____,顶点C的坐】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
2011年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系。
(1)分别求和的函数解析式;
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额。
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如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式。
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如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点。

(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上,若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围;
(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
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如图,已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B。
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得△PAB是以AB为底的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S。
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是____;当t=3时,正方形EFGH的边长是____;
(2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
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