题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H。
（1）直接填写：a=____，b=____，顶点C的坐标为____；
（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。

答案

解：（1）a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）；（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E，
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°，
又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，
∴，
设D（0，c），则，
变形得，解之得，
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形；（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，
得∠QCP=∠CAH，
延长CP交x轴于M，
∴AM=CM，
∴AM²=CM²，
设M（m，0），则（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（2，0），
设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，
则，解之得，
∴直线CM的解析式，
联立，解之得或（舍去），
∴，
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，
得∠PCQ=∠ACH，
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N，
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得，
∴，点F坐标为（-5，1），
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则，解之得，
∴直线CF的解析式，
联立，解之得或（舍去），
∴，
∴满足条件的点P坐标为或。