题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S。
（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是____；当t=3时，正方形EFGH的边长是____；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

答案

解：（1）2；4；
（2）求点H在AC上时t的值（如图1）
∵EP=PF=1·t=t，
∴正方形EFGH中，HE=EF=2t，
又∵AP=2，
∴AE=AP-EP=2-t，
又∵EFGH是正方形，
∴∠HEA=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AHC，
∴，即，
∴，
求点G在AC上时t的值（如图2）
又∵EP=PF=1·t=t，
∴正方形EFGH中，GF=EF=2t
又∵AP=2，
∴AF=AP+PF=2+t，
仿上有，△ABC∽△AGF，
∴，即，
∴，
因此，0＜t≤2分为三部分讨论：
①当0＜t≤时（如图3），S与t的函数关系式是：
；
②当时（如图4），S与t的函数关系式是：
=；
③当时（如图5），求S与t的函数关系式是：
S=S_△ARF=S_△AQE=·（2+t）²-×（2-t）²=3t，
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=，
（3）当时，S最大，最大面积是。