题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵当x=0时，y=3；
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
由A（-1，0），C（3，0）在抛物线上，
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将B（0，3）代入，得3=a×1×（-3），
∴a=-1。
∴此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）存在，
∵抛物线的对称轴为：，
设Q点坐标为（1，m），
则，，
①当AB=AQ时，，
解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，-）；
②当AB=BQ时，，
解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
③当AQ=BQ时，，
解得：m=1，
∴Q点坐标为（1，1），
综上所述，抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，-）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形。