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题目
题型:湖南省中考真题难度:来源:
九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程:
(1)实践:他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式;
(2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m,为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述拋物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
I.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在拋物线上,顶点A、B落在x轴上,设矩形ABCD的周长为l求l的最大值;
II.如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q,问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。

答案
解:(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5,6.25),
∴设抛物线的解析式为
∵图象过(10,0)点,

解得
∴抛物线的解析式为;(2)当最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时,x=2,
把x=2代入解析式得:y=-0.25(2-5)2+6.25,y=4,
∵4-3.5=0.5,
∴隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶;(3)I.假设AO=x,可得AB=10-2x,
∴AD=-0.25(x-5)2+6.25,
∴矩形ABCD的周长为l:
l=2[-0.25(x-5)2+6.25]+2(10-2x)=-0.5x2+x+20=-0.5(x-1)2+20.5,
∴l的最大值为20.5,
II.当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,
∵P在y=x的图象上,设P(m,m),
过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q,
∴∠POA=∠OPA=45°,N点的坐标为(5,5),
∴Q点的坐标为(m,5),
把Q点的坐标代入,得
解得
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,P点的坐标为:()或(,)。
核心考点
试题【九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程:(1)实践:他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道(如图①】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是

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A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
题型:湖南省中考真题难度:| 查看答案
已知:二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,-)。
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△EBC的面积最大,并求出最大面积。注:二次函数y=x2+bx+c(≠0)的对称轴是直线x=-
题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
已知直线y=x+4与x轴,y轴分别交于A、B两点, ∠ABC=60°,BC与x轴交于点C。
(1)试确定直线BC的解析式;
(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合) ,动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度,设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当△APQ的面积最大时,y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由。

题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F。
(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值。

题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:张经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A,但包含端点C)。
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨,那么张经理的采购量为多少时,老王在这次买卖中所获的利润w最大?最大利润是多少?
题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
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