题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（-，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线线y=ax²+bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1） ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ，
∴∠ACB=90°，（2） ∵△AOC∽△ABC，
∴OC²=AO·OB，
∵A（-，0），点C（0，3），
∴ AO=，OC=3，
∴ 3²=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为
把C点坐标代入得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即。 （3） 存在。分两种情况讨论：
①OD=OB，
D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H ，则H是OB 中点，
DH=OC，OH=OB，
∴D（2，）；
②BD=BO，
过D作DG⊥OB，垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1，
∵DG∥CO，
∴OG∶OB=CD∶CB，
即OG∶4=1∶5，
∴OG=；
DG∶CO=BD∶BC，
即DG∶3=4∶5，
∴DG=，
∴D（，），
综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2，），（，）。