解：（1）抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴解得a=1，b=4，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+3；
（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
直线OD的解析式为y=x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+h，
① 当抛物线经过点C时，
∵C（0，9），
∴h²+h=9，
解得h=，
∴当≤x<时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点；
② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组
得x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，
∴⊿=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意；
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，
顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x<；
（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），点E、F的坐标分别为（m，m²），（n，n²），
由，得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m·n=-3，
作点E关于y轴的对称点R（-m，m²），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，
∴点P即为所求的点，
由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn，记y=（n-m）x-3，
当x=0时，y=-3，
∴P（0，-3），
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），
使△PEF的内心在y轴上。