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数列与函数的关系
数列与函数的关系
1.函数
函数简单的说： 有两堆数，一堆称之为值域，另一对叫定义域，它们满足：在值域内随意找个量，通过对应法则，得到一个量，该量在定义域内，并且在定义域能找不到第二个与它相等的量。 反之，也有在定义域中找个量，通过对应法则，得到一个量，该该量在值域中，但值域中的这个量不是唯一的(如y=2 常数函数)。 上面的两段中都提到了对应法则，它们分别为原函和反函的对应法则。如y=1/x 定义域是x不等于1，在定义域中随便找个量，比如2，它通过“倒数”这个对应法则，在值域中能找到1/2这个量与其对应。
2.数列
它也是一个函数，只是比函数更有约束条件。 它是“按某种规律排列”的一串无穷无尽的数。 从函数角度来看，它值域内有无数个量，且有一个固定的法则。
相关试题
已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-x2+2x，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前项和为Sn，则 
[ ] A.3
B.
C.2
D.
展开式的第四项等于7，则
=（ ）。若（1- 
）n（n∈N，n＞1）的展开式中x-4的系数为an，则
=（ ）。在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”，
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{an}中，a20=3，a21=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。已知数列{an}，{bn}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：an=bn，f（bn）=g（bn+1）（n∈N*）。
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），
存在，求
的值；
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，an+1＜an（用t表示）。已知不等式
[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明an＜
，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜
。 在二项式（1+3x）n和（2x+5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则 
=（ ）。已知函数f（x）=e-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}。
（1）证明数列{f{xn}}为等比数列；
（2）记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求
。已知不等式
[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明an＜
，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜
。 
=（ ）。有一列正方体，棱长组成以1为首项、 
为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则
（V1+V2+…+Vn）=（ ）。
( )已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有
（
的常数），记
．
(Ⅰ) 求an；
(Ⅱ)求
；
(Ⅲ)当
时，设
，求数列
的前n项和．计算： 
（ ）若数列{an}的通项公式为an=n+3（n∈N*），则 lim n→∞
=______．an+1+an+2 4n 记椭圆
+x2 4
=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则ny2 4n+1
Mn=（ ）lim n→∞ A．0 B． 1 4 C．2 D．2 2 已知 lim x←∞
=-5，(1＜a＜3，c，p，a为常数)，则p的值是______．an+p•3n+c an-3n 数列{an}中，a1=2，an+1=
+an 2
，试证：1 an
＜an＜2
+2
．1 n 是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．n(n+1) 12 已知(2x-
)9的展开式的第7项为2 2
．，则21 4
（x+x2+…+xn）等于（ ）lim x-∞ A． 3 4 B． 1 4 C．- 1 4 D．- 3 4 在二项式(ax+
)6(a∈R)的展开式中，常数项的值是-20，则3 x
(a+a2+a3+…+an)=______．lim n→∞ 已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a2+a3=2，a3+a4=1，则
Sn的值为______．lim n→∞ 已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=
．1 2
（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)
，求证：a1+a2+…+an＜2；(n∈N+)
（3）设bn=nf(n+1) f(n)
+b2+…+bn，求&(n∈N+)，Sn=b1
(lim n→∞
+1 S1
+…+1 S2
)．1 Sn 设Mn={（十进制）n位纯小数0.
|ai只取0或1（i=1，2，…，n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则. a1a2…an lim n→∞
=______．Sn Tn 已知数列{f（n）}满足nf2（n）-（n-1）f2（n-1）+f（n）f（n-1）=0且f（n）＞0
（1）求{f（n）}的通项公式；
（2）令an=31/f（n），bn=4/f（n）+1（n∈N*），若在数列{an}的前100项中，任取一项an，问an同
时也在数列是的某项的概率为多少？为什么？
（3）若将（2）中的前100项推广到前n项（n∈N*），且记上述概率为Pn，试猜测
Pn（不必证明）．lim n→∞ 若an=
，则
+2，(n＜1000)1 n
，(n≥1000)2n 2n-1
an=______．lim n→∞ 已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|-2）（|OR1|-2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|-2）（|OR2|-2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则
|Q0Pn|=______．lim n→∞ 设常数a＞0，(ax2+
)4展开式中x3的系数为1 x
，则3 2
(a+a2+…+an)=______．lim n→∞ 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
．如：A=. x～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．. 2～(-1)(3)(-2)(1)
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
，k∈N*，bn=1 1-ak
（n∈N*）．求证：bn=. 2～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
•8n-2 7
．2 7
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
，求. t～(
)(C 1n
)(C 2n
)…(C 3n
)(C n-1n
)C nn lim n→∞
．dn dn+1 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比为q（q＞0），Sn为{an}的前n项和，则 lim n→∞
=______．Sn Sn+1 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若 lim n→+∞
=1，则公比q的取值范围是（ ）Sn+1 Sn A．0＜q＜1 B．0＜q≤1 C．q＞1 D．q≥1 数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=
(xn+1 2
)，n∈N．a xn
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥
；a
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；
（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求
xn的值．lim n→∞ 设等比数列{an}（n∈N）的公比q=-
，且1 2
（a1+a3+a5+…+a2n-1）=lim n→∞
，则a1=______．8 3
[lim n→∞
-1 3
+1 9
+…+(-1)n-11 27
]的值为 ______．1 3n 在无穷等比数列{an}中，a1=1，q=
，记Tn=1 2
+a 22
+a 24
+…+a 26
，则a 22n
Tn等于______．lim n→∞ （文）已知等差数列{an}的首项a1=0且公差d≠0，bn=2^an（n∈N*），Sn是数列{bn}的前n项和．
（1）求Sn；
（2）设Tn=
（n∈N*），当d＞0时，求Sn bn
Tn．lim n→+∞ 已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是an=
，bn=(1+an2+2 bn2-n+3
)bn，其中a、b是实常数．若1 n
an=2，lim n→∞
bn=elim n→∞
，且a，b，c成等比数列，则c的值是______．1 2 {an}是无穷数列，已知an是二项式（1+2x）n（n∈N*）的展开式各项系数的和，记Pn=
+1 a1
+…+1 a2
，则1 an
Pn=______．lim n→∞ 已知数列{an}的前n项和为S n=-n2+n，数列{bn}满足b n=2an，求
(b1+b2+…+bn)．lim n→ω 已知Sn是公差为d≠0的等差数列{an}的前n项和，{bn}是公比为1-d的等比数列，若b1=a1，b2=a1a2，b3=a2a3，则 lim n→∞
=______．Sn a 2n 已知数列{an}的前n项和Sn=-ban+1-
，其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若1 (1+b)n
Sn存在，则lim n→∞
Sn=______．lim n→∞ 若(
-1)6的展开式中的第5项等于a
，则15 2
（a+a2+…+an）的值为（ ）lim n→∞ A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4
，则数列{an}的极限值
的值为
展开式中x3的系数为
，则
=
，n∈N*，则
n=3，4，…。若
，则x1=
的值是 
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