题目

题型：北京高考真题难度：来源：

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”，
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。

答案

（Ⅰ）解： （答案不惟一）；
（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，
所以自第20项开始，该数列是
，
即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，
所以当n→∞时，a_n的极限不存在；
当n≥20时，，所以。
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项。
证明如下：假设{a_n}中没有零项，由于，
所以对于任意的n，都有，
从而当时，；
当时，；
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1，
令，n=1，2，3，…，
则2，3，4，…），
由于c₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c₁＜0，这与c_n＞0（n=1，2，3，…）矛盾，
从而{a_n}必有零项，
若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即，
所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项。