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二面角
二面角
(1)平面角的三要素：①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都垂直。
(2)作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;
(3)二面角的范围： ;
(4)二面角的求法：①转化为求平面角;②面积射影法：利用面积射影公式 ，其中 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法)。
相关试题
四棱锥O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且 
，底面ABCD是菱形；点B在平面OAD 内的射影G恰为△OAD的重心，
（1）求OA的长；
（2）求二面角B-OC-D的平面角的余弦值。
在空间四边形ABCD中，边长AB、BC、CD、DA均为1，对角线AC= 
，且二面角D-AC-B的大小为
，则∠DAB=（ ）。若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，且侧棱垂直于底面，若AB1与底面ABCD成60°角，则二面角C-B1D1-C1的平面角的正切值为（ ）。 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则二面角D-AC-B的大小为（ ）。 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后不会成立的结论是 [ ] A.AC⊥BD
B.△ADC为等边三角形
C.AB、CD所成角为60°
D.AB与平面BCD所成角为60°已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）的体积为12，底面正方形的对角线的长为 
，则侧面与底面所成的二面角的平面角为（ ）。矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如图，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为 
，则sin
的值等
[ ] A． 
B．
C．
D．
从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角，则二面角A-PB-C的余弦值是（ ）。 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=1，BB1= 
。连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E。
（1）求证：AC1⊥平面B1D1E；
（2）求二面角E-B1D1-C1的大小。二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为 [ ] A．a
B．2a
C．
a
D．
a 以等腰直角三角形斜边上的高为棱把它折成直二面角，则折成后两直角边的夹角为（ ）。 正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2 
，则侧面与底面所成的二面角等于（ ）。△ABC为正三角形，P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，△APB与△ABC的面积之比为2：3，则二面角P-AB-C的大小为 [ ] A．90°
B．45°
C．60°
D．30°如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，AD= 
，EF=2，BE=3，CF=4。
(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．
已知α-l-β是大小为45°的二面角，C为二面角内一定点，且到平面α和β的距离分别为 
和6，A，B分别是半平面α，β内的动点，则△ABC周长的最小值为（ ）。如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN，截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是（ ）。 
如图，l1，l2是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l1上，点A， B在直线l2上，M，N分别是线段AB，AP的中点，且PC=AC=a，PA= 
a，
(Ⅰ)证明：PC⊥平面ABC；
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°＜θ≤90°)。现给出下列四个条件：①CM=
AB；②AB=
a；③CM⊥AB；④BC⊥AC。请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值，并求解． 
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1，
(Ⅰ)求证：BB1⊥平面ABC；
(Ⅱ)求多面体DBC-A1B1C1的体积；
(Ⅲ)求二面角C-DA1-C1的平面角的余弦值。
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF= 
FD=4， 沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，
(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；
(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2 
，则侧面与底面所成的二面角等于（ ）。如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= 
，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，
(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．
如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD 
，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°。
（1）求 
的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小。已知A、B、C是表面积为48π的球面上三点，且AB=2，BC=4，∠ABC= 
，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为[ ] A.arccos 
B.arccos
C.
D.
如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥AB，PC⊥BC，AC=PC= 
，PA=
，PB=
，D、F分别是PB、AC的中点，
(1)求证直线DF⊥平面ABC；
(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值．
如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠BAF=90°，BC 
AD，BE
AF．
（Ⅰ）求证：C、D、E、F四点共面；
（Ⅱ）若BA=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小．
在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。 
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设Q为侧棱PC上一点，
=λ
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°。已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为 [ ]
A.7π
B.9π
C.11π
D.13π己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于（ ）。 如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE， (1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？证明你的结论；
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点，
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(3)若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上， AE=EB=AF= 
FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长。如图，已知△AOB，∠AOB= 
，∠BAO=
，AB=4，D为线段AB的中点，若△AOC是△AOB 绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（2）当
时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=3，∠ACB=90°，D为CC1上的点，二面角A-A1B-D的余弦值为- 
。
（1）求证：CD=2；
（2）求点A到平面A1BD的距离。
，
a，这时二面角B-AD-C的大小为（ ）。
，这时二面角
、4，到棱的距离是
，则二面角的度数是
，则二面角P-BD-A的正切值为
，D为BC上的一点，在截面ADC1中，∠ADC1=90°，求二面角C1-AD-C的大小。 
，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小。 
，Q到α的距离为2
，则P、Q两点之间距离的最小值为 
AB，则二面角B-AD-C为 
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