题目

题型：辽宁省模拟题难度：来源：

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点，若△AOC是△AOB 绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（2）当时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围。

答案

解：（1）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，如图
因为平面AOB⊥平面COD，平面AOB∩平面COD=OD，
所以BE⊥平面COD，
故BE⊥CO
又因为OC⊥AO，
所以OC⊥平面AOB，
故OC⊥OB
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，
所以二面角B-AO-C的平面角为∠COB，
故。
（2）当时，二面角C-OD-B的余弦值为0；
当时，过C作OB的垂线，垂足为F，
过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角，
在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，
所以
因为，
故
所以二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为。