题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁，
(Ⅰ)求证：BB₁⊥平面ABC；
(Ⅱ)求多面体DBC-A₁B₁C₁的体积；
(Ⅲ)求二面角C-DA₁-C₁的平面角的余弦值。

答案

解：(Ⅰ)∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
∴CD⊥BB₁，
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D，
∴BB₁⊥面ABC。(Ⅱ)多面体

。(Ⅲ)以C为原点，分别以为x轴，y轴，z轴正向，
建立空间直角坐标系，则，
，
∴D（1，0，1），
设为平面DCA₁的一个法向量，
则有，即，
∴，故可取，
同理设是平面DC₁A₁的一个法向量，
且，
则有，即，
∴，故可取，
∴，
又二面角C-DA₁-C₁的平面角为锐角，
所以其余弦值为。