题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上， AE=EB=AF=FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长。

答案

解：（1）取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E=A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF
如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A′（2，2，2），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）
故=（-2，2，2），=（6，0，0）
设n=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，
所以
取z=，
则n=（0，-2，）
又平面BEF的一个法向量m=（0，0，1），
故cos〈n，m〉=
所以二面角的余弦值为。（2）设FM=x，则M（4+x，0，0），
因为翻折后，C与A′重合，
所以CM=A′M，
故（6-x）²+8²+0²=（-2-x）²+2²+（2）²，得x=，
经检验，此时点N在线段BC上
所以FM=。