题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，l₁，l₂是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l₁上，点A， B在直线l₂上，M，N分别是线段AB，AP的中点，且PC=AC=a，PA=a，
(Ⅰ)证明：PC⊥平面ABC；
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°＜θ≤90°)。现给出下列四个条件：①CM=AB；②AB=a；③CM⊥AB；④BC⊥AC。请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值，并求解．

答案

解：(Ⅰ)在△PAC中，∵PC=AC=a，PA=a，
∴PC²+AC²=PA²，∴PC⊥AC，
∵l₁，l₂是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l₁上，点A，B 在直线l₂上，
∴PC⊥AB，
又AC∩AB=A，
∴PC⊥平面ABC．  (Ⅱ)方案一：选择②④可确定cosθ的大小．
∵AC⊥BC，且AB=a，AC=a，
∴BC=a，以C为坐标原点，的方向为
x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系C-xyz，
则，
又M，N分别是AB，AP的中点，
∴，
∵CA⊥平面PBC，
∴是平面PBC的一个法向量，
设平面MNC的法向量，
由，得，
取x=1，得为平面MNC的一个法向量，
∴，
∴。