题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=PB=1，BC=2。
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求二面角A-PD-B的余弦值。

答案

解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线y为轴，
AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则

∴
，，
，，，。
（1）∵
∴即
又平面PAB，平面PAB
∴∥平面PAB。
（2）

∴
即
又
∴平面PAD
∵平面PDC
∴平面PAD⊥平面PDC。
（3）设平面PBD的一个法向量
则，即
解得平面APC的一个法向量
而平面APD的一个法向量是
设二面角为θ
则
即二面角的余弦值为。