题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁、BC的中点， (1)证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
(2)证明：C₁F∥平面ABE；
(3)设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积。

答案

(1)证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，
∴，∴，
∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB₁，
∴AB⊥面BB₁C₁C，
又∵AB面ABE，
∴面ABE⊥面BB₁C₁C．
(2)证明：取AC的中点M，连接C₁M，FM，
在△ABC中，易得FM∥AB，
∴直线FM∥面ABE，
在矩形ACC₁A₁中，E、M都是中点，
∴C₁M∥AE，
∴直线C₁M∥面ABE，
又∵C₁M∩FM =M，
∴面ABE∥面FMC₁，
故C₁F∥面AEB。
(3)解：连接EM、BM，取BM的中点O，连接PO，则PO∥BB₁，
∴点P到面BB₁C₁C的距离等于点O到平面BB₁C₁C的距离，
过O作OH∥AB交BC于H，则OH⊥面BB₁C₁C，
在等边△BCM中，连接OC，可知CO⊥BM，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得，
∴。