题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)证明:平面PAB⊥平面PCM;
(2)证明:线段PC的中点为球O的球心;
(3)若球O的表面积为20π,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
答案
∴CM⊥AB,
∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,
∴PA⊥CM,
∵AB∩PA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,
∴CM⊥平面PAB,
∵CM平面PCM,
∴平面PAB⊥平面PCM。
∵PM平面PAB,
∴CM⊥PM,
∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴PA⊥AC,
如图(1),取PC的中点N,连接MN、AN,
在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,
∴AN=PN=NC,
在Rt△PMC中,点N为斜边PC的中点,
∴MN=PN=NC,
∴PN=NC=AN=MN,
∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心.
(3)解:依题意得4π·NC2=20π,解得,
∴,
作MD⊥PB,垂足为D,连接CD,
由(1)知CM⊥平面PAB,
∵PB平面PAB,
∴PB⊥CM,
又MD∩MC=M,∴PB⊥平面CMD,
∵CD平面CMD,
∴CD⊥PB,
∴∠CDM是二面角A-PB-C的平面角,
在Rt△PAB和Rt△MDB中,
,
∴,
在Rt△CMD中,,
∴,
∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值是。
核心考点
试题【如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上,(1)证明:平面PAB⊥平面PCM;】;主要考察你对面面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面PAD;
(Ⅱ)设AB=AP,
(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长;
(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.
①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE。
[ ]
B.若a⊥α,b∥a,bβ,则α⊥β
C.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b
D.若a∥α,a∥β,则α∥β
(2)求四棱锥P-ABCD的体积;
(3)求PH与平面PAD所成的角的大小
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