题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°，
(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(Ⅱ)设AB=AP，
(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

答案

(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD，
又AB平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD。 (Ⅱ)解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz(如图)，
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD，
在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1，CE=CD·sin45°=1，
设AB=AP=t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)，
由AB+AD=4得AD=4-t，
所以E(0，3-t，0)，C(1，3-t，0)，D(0，4-t，0)，
，
(i)设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，
由，得，
取x=t，得平面PCD的一个法向量n=(t，t，4-t)，
又，
故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得，
即，解得或t=4(舍去，因为
AD=4-t＞0)，
所以。
(ii)假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4-t)，
则，
由得12+(3-t-m)²=(4-t-m)²，即t=3-m；(1)
由得(4-t-m)²=m²+t²， (2)
由(1)、(2)消去t，化简得m²-3m+4=0， (3)
由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，C，D的距离都相等．
从而，在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．