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题目
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在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}的周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.已知周期数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列前2012项和是______.
答案
∵xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),
∴x3=|x2-x1|=|1-a|,
(1)当a≥1时,有x3=a-1,x4=|x3-x2|=|(a-1)-a|=1=x1,x5=|x4-x3|=|1-(a-1)|=|2-a|,
①当a≤2时,有x5=2-a
此时,若x5=x2,即2-a=a,则a=1,就有x1=x4=1,x2=x5=1,x3=0
则数列{xn}为1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它满足xm+3=xm,即最小周期为3
②当a>2时,有x5=a-2,
此时,若x5=x2,即a-2=a,显然是不可能的.
(2)当a<1时,有x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|(1-a)-a|=|1-2a|
①当0<a≤
1
2
时,有x4=1-2a,x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|a|=a=x2
此时,若x4=x1,即1-2a=1,则a=0,与已知矛盾,不符合条件.
②当
1
2
<a<1时,有:x4=2a-1,x5=|x4-x3|=|(2a-1)-(1-a)|=3|a-1|=3(1-a)
此时,若x3=x1,即1-a=1,则a=0,这与a≠0相矛盾.
若x4=x1,即2a-1=1,则a=1,这与a<1相矛盾.
若x5=x1,那么即使其成立,其周期为4,也大于前面求出的最小周期3,也可以不考虑.
③当a<0时,有x4=1-2a,x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|-a|=-a,
同样存在上述②的情况.
综上:当a=1时,数列{xn}=1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它满足:xm+3=xm,即最小周期为3,
它从第一项起,每三项之和为1+1+0=2,
2012
3
=670…2,
∴数列的前2012项和S2012=670×2+2=1342.
故答案为:1342.
核心考点
试题【在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}的周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.已知周期数列】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n

(1)设bn=
an
n
,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
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若数列{an}和{bn}满足关系:an=
1+bn
1-bn
an+1=
1
2
(an+
1
an
)
n∈N*,a1=3.
(1)求证:数列{lgbn}是等比数列;
(2)设Tn=b1b2b3…bn,求满足Tn
1
128
的n的集合M;
(3)设cn=
2


bn
bn-1
,{cn}的前n项和为Sn,试探索an与Sn之间的关系式.
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已知数列{an}的通项an=33-2n,则|a1|+|a2|+…+|a10|=______.
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若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an.n=1,2,3….则a1+a2+…+an=______.
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数列1,
1
1+2
1
1+2+3
,…,
1
1+2+3+…+n
,…的前n项和Sn=______.
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