题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1+x |
1-x |
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)证明函数f(x)为奇函数;
(Ⅲ)判断并证明函数的单调性.
答案
1+x |
1-x |
|
|
可得-1<x<1.
即函数f(x)的定义域为(-1,1). …(4分)
(Ⅱ)由f(-x)=log2
1-x |
1+x |
1+x |
1-x |
所以函数f(x)为奇函数. …(8分)
(Ⅲ)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2
1+x1 |
1-x1 |
1+x2 |
1-x2 |
=log2
(1+x1)(1-x2) |
(1-x1)(1+x2) |
=log2
1+x1-x2+x1x2 |
1-x1+x2+x1x2 |
由x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
可知0<1+x1-x2+x1x2<1-x1+x2+x1x2,
所以
1+x1-x2+x1x2 |
1-x1+x2+x1x2 |
可得log2
1+x1-x2+x1x2 |
1-x1+x2+x1x2 |
即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(-1,1)为增函数. …(12分)
核心考点
举一反三
且当n-1≤x<n(n∈Z)时,f(x)=(x-n)•f(n-1)+f(n)
(Ⅰ)求f(2)的值及当x∈[3,4)时,f(x)的表达式;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)“定义:设g(x)为定义在D上的函数,若存在正数M,对任意x∈D都有|g(x)|≤M,则称函数g(x)为D上有界函数;否则,称函数g(x)为D上无界函数.”试证明f(x)为R上无界函数.
A.2 | B.lg
| C.0 | D.-3 |
x+1 |
2-x |
(1)判断函数f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;
(2)求函数f(x)=
x+1 |
2-x |
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