已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）=-2．（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x-x2-2）＜0． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）=-2．
（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x-x²-2）＜0．

答案

（Ⅰ）证明：∵函f（x）是奇函数
∴f（-1）=-f（1）=f（-1）＞f（1）
∴函数f（x）不是R上的增函数（2分）
又函f（x）R上单调∴函f（x）R上的单调减函数（4分）
（Ⅱ）f（x）+f（2x-x²-2）＜0，∴f（x）＜-f（2x-x²-2）=f（-2x+x²+2）（6分）
由（Ⅰ）知函f（x）为上的单调减函数x＞-2x+x²+2（8分）
x²-3x+2＜得（x-1）（x-2）＜0，（10分）1＜x＜2∴原不等式的解集{x|1＜x＜2}（12分）

核心考点

试题【已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）=-2．（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x-x2-2）＜0．】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=logπ3．f(logπ3)，c=log3

•f(log3

)，则a，b，c大小关系是（　　）

A．b＞a＞c

B．a＞b＞c

C．a＞c＞b

D．b＞c＞a

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已知函数f(x)=

3x3-9x2+12x-4，x≤1

x2+1，x＞1

，若f（2m+1）＞f（m²-2），则实数m的取值范围是______．

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已知f(x)=

x+1

(x＜0)

(x=0)

(x＞0)

，则f{f[f（-1）]}=（　　）

A．1+π

B．π

C．0

D．无法求

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2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象．长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=f(t)=

t3-

t2+36t-

629

，6≤t＜9

288

，9≤t≤10

-3t2+66t-345，10＜t≤12

求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻．

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在实数集R上定义运算○×：x○×y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x．若F（x）=f（x）○×g（x）在R上为减函数，则a的取值范围是______．

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