题目

题型：模拟题难度：来源：

已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图②，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）把A（3，0），B 代入，

 ∴3a=
∴；
（2）设P，
则S_△POB=，
∵S_△POA=3·，


∴
 ∴a=±，
又P在第二象限，
∴P；
（3）C（1，-3），
设DO为a，则AD²=a²+9，DC²=1+（3-a）²，AC²=13，
∴当AD²+DC²=AC²时，即∠ADC=90°时，
a²+9+1+9+a²-6a=13，
2a²-6a+6=0，
a²-3a+3=0，
则a=1，b=-3，c=3，
∴A=9-12=-3<0，
∴无解，
当AD²+AC²=DC²时，即∠CAD=90°，
a²+9+13=1+9+a²-6a， 　
当AC²+DC²=AD²时即∠ACD=90°，
则13+1+9+a²-6a=a²+9，
，
∴
则D或（0，2）。