题目

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A，且△AOB∽△BOC。
（1）求C点的坐标、∠ABC的度数；
（2）求二次函数y=ax²+bx+3的解析式；
（3）在线段AC上是否存在M（m，0）点，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意得：B（0，3）
∵△AOB∽△BOC

∴
∴OC=4
C（4，0）
∵
∴
∴；（2）∵的图像经过点
∴
∴；（3）①当PC=PO时，点P为BC的中点，得PC=2.5，
过点P作，PM₁交AC于点M₁，
则点P在BM₁为直径的圆上，
由△CPM₁∽△CBA，
∴
得
∴，
②当CP=CO时，过P作
则点P在以为直径的圆上，
同理
∴∽△CBA
∴得CM₂=5，
∴m₂=-1
③当OC=OP时，M点不在线段AC上，
综上所述，m的值为或-1。