题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示。
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l₁，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
（3）当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

答案

解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA，
∴，
即
∴
∴点C的坐标是（0，）
由题意，可设抛物线的函数解析式为
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入，
得
解这个方程组，得
∴抛物线的函数解析式为；
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下：
可求得直线的解析式为，
直线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为（-1，），点D的坐标为（-1，），点E的坐标为（-1，），点F的坐标为（-1，0）
∴KD=，DE=，EF=
∴KD=DE=EF
（3）（i）以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M₁，由抛物线对称性可知点M₁为点C关于直线的对称点
∴点的坐标为（-2，），此时△为等腰三角形
（ii）当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
（iii）作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，
∴KD=DC
此时，有点即点D坐标为（-1，），使△为等腰三角形；
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，），（-1，）时，△MCK为等腰三角形。