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题目
题型:浙江省中考真题难度:来源:
已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(-3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K,如图所示。
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线l1,抛物线,直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由。
(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标。
答案
解:(1)由题意易知:△BOC∽△COA,



∴点C的坐标是(0,
由题意,可设抛物线的函数解析式为
把A(1,0),B(-3,0)的坐标分别代入

解这个方程组,得
∴抛物线的函数解析式为
(2)截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF
理由如下:
可求得直线的解析式为
直线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为(-1,),点D的坐标为(-1,),点E的坐标为(-1,),点F的坐标为(-1,0)
∴KD=,DE=,EF=
∴KD=DE=EF
(3)(i)以点K为圆心,线段KC长为半径画圆弧,交抛物线于点M1,由抛物线对称性可知点M1为点C关于直线的对称点
∴点的坐标为(-2,),此时△为等腰三角形
(ii)当以点C为圆心,线段CK长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点和点A,而三点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形
(iii)作线段KC的中垂线l,由点D是KE的中点,且,可知l经过点D,
∴KD=DC
此时,有点即点D坐标为(-1,),使△为等腰三角形;
综上所述,当点M的坐标分别为(-2,),(-1,)时,△MCK为等腰三角形。
核心考点
试题【已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(-3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系中,如图1,将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C。 
(1)当n=1时,如果=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
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已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B。
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N,将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN,在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式。
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如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=,另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合,两腰分别落在AB、AC上,且G、F分别是AB、AC的中点。
(1)直接写出△AGF与△ABC的面积的比值;
(2)操作:固定△ABC,将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动,直到点D与点C重合时停止,设运动时间为x秒,运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图2)。
①探究1:在运动过程中,四边形AEF′F能否是菱形?若能,请求出此时x的值;若不能,请说明理由。
②探究2:设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。
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在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线(a<0)过矩形顶点B、C。
(1)当n=1时,如果a=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
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已知二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2, -5),且与x轴交于A、B两点。
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由。
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