题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止，设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）。
①探究1：在运动过程中，四边形AEF′F能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由。
②探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式。

答案

解：（1）△AGF与△ABC的面积比是1：4；
（2）①能为菱形
由于FC∥，CE∥，
∴四边形是平行四边形
当时，四边形为菱形
此时可求得
∴当秒时，四边形为菱形。②分两种情况：
（i）当时，
如图过点作于M。
∵
G为AB的中点
∴
又∵分别为的中点
∴
∴
∴等腰梯形的面积为6
∵
∴
∴重叠部分的面积为：
∴当时，y与x的函数关系式为。（ii）当时
设与交于点P
则
∴
作点Q
则
∴重叠部分的面积为：

综上，当时，y与x的函数关系式为；
当时，。