题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）。
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P（m，m） 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小。

答案

解：（1）依题意有
即，
∴
∴抛物线的解析式为：，
（2）把配方得，
∴对称轴方程为x=2
顶点坐标（2，-10）；
（3）由点P（m，m）在抛物线上有，
即
∴ 或（舍去），
∴P（6，6）
∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称
∴Q（-2，6）；
（4）连接AQ，AP，直线AP与对称轴x=2相交于点M，
由于P，Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M，能够使得△QAM的周长最小，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
∴
∴
∴直线PA的解析式为：y=2x-6，
设点M（2，n）
则有n=2×2-6=-2，
此时点M（2，-2）能够使得△AMQ的周长最小。