题目
题型:湖南省中考真题难度:来源:
(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA·OD,求证:DB是⊙C的切线;
(3)抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
答案
连结OC,
由于∠AOB=90°,C为AB的中点,则
所以点O在⊙C上
过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3
又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3)
抛物线过点O,所以c=0
又抛物线过点A、C,
所以
解得:
所以抛物线解析式为:。
(2)OA=OB=6代入OB2=OA·OD,得OD=6
所以OD=OB=OA,∠DBA=90°
又点B在圆上,故DB为⊙C的切线。
(3)假设存在点P满足题意
因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90°,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,
则∠CAP=90°或∠COP=90°
若∠CAP=90°,则OC∥AP,
因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b
又AP过点A(6,0),则b=-6,
方程y=x-6与联立解得,
故点P1坐标为(-3,-9)
若∠COP=90°,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9)
故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意。
核心考点
试题【如图,直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛物线y=ax2+bx+c过A、C、O三点。(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式;】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由。
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;
(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由。
(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由。
①量得OA=3cm;
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5,请完成下列问题:
(2)求抛物线的解析式;
(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点A的右边(如图2),直尺的两边交x轴于点H、G,交抛物线于点E、F。求证:。
(1)求C′点的坐标;
(2)求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式;
(3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;
(4)抛物线上是否存在一点M,使得S△AMF:S△OAB=16:3,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
图1 图2 图3
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