题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角形CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现奖三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置。
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）抛物线上是否存在一点M，使得S_△AMF：S_△OAB=16：3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
图1                                          图2                                              图3

答案

解：（1）C′（3，）；
（2）∵抛物线过原点O（0，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx
把A（2，0），C′（3，）代入，得
解得a=，b=-
∴抛物线解析式为y=x²-x；
（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°
又AB=2
∴AF=4
∴OF=2
∴F（-2，0）
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B（1，），F（-2，0）带入，
得
解得k=，b=
∴直线BF的解析式为y=x+；
（4）①当M在x轴上方时，存在M（x，x²-x）
S_△AMF：S_△OAB=[×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x-8=0，
解得x₁=4，x₂=-2
当x₁=4时，y=×4²-×4=；
当x₁=-2时，y=×（-2）²-×（-2）=
∴M₁（4，），M₂（-2，）
②当M在x轴下方时，不存在，设点M（x，x²-x）
S_△AMF：S_△OAB=[-×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x+8=0，b²-4ac＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M₁（4，），M₂（-2，）。