题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

已知抛物线交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D。
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E。求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）求出：b=-4，c=3，抛物线的对称轴为：x=2；
（2）抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1），
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），
连接OD，DB，BE，
∵△OBC是等腰直角三角形，△DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四边形ODBE是梯形，
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=，BE=，
∴OD=BE，
∴四边形ODBE是等腰梯形；
（3）存在，
由题意得：，
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：，
∴，
当y=1时，即，
∴，
∴Q点坐标为（2+，1）或（2-，1），
当y=-1时，即，∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1），
综上所述，抛物线上存在三点Q₁（2+，1），Q₂（2-，1），Q₃（2，-1），
使得。