如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点。（1）求该二次函数的解析式；（2） - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数

的图象经过B、C两点。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围。

答案

解：（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
将点B、C的坐标分别代入

得，

，解得

，
∴二次函数的解析式为

；
（2）令y=0，则，整理得，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0），
当y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，x的取值范围是-1＜x＜3。

核心考点

试题【如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点。（1）求该二次函数的解析式；（2）】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知一次函数y₁=kx+b图象与x 轴相交于点A，与反比例函数y₂=

的图象相交于B（-1，5）、C（

，d）两点，点P （m ，n ）是一次函数y₁=kx+b的图象上的动点。
（1）求k、b的值；
（2）设-1＜m＜

，过点P作x轴的平行线与函数y₂=

的图象相交于点D，试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围。

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如图，已知二次函数L₁：y=x²-4x+3 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C。
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）二次函数L₂：y=kx²-4kx+3k （k ≠0 ），顶点为P。
①直接写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k 与抛物线L₂交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由。

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在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0），如图所示，B 点在抛物线

图象上，过点B 作BD ⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3。
（1）求证：△BDC ≌△COA ；
（2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

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如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x²﹣2x﹣3=0的两根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD。
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标。

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如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点。
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3 ）。
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围。（写出答案即可）

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