题目

题型：中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0），如图所示，B 点在抛物线图象上，过点B 作BD ⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3。
（1）求证：△BDC ≌△COA ；
（2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵ ∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC   
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC
在△BDC和△COA中，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点的横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1）    
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
则有
解之，得
∴BC所在直线的函数关系式为；
（3）存在．二次函数解析式为，
∴对称轴为直线
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P₁，使CP₁⊥AC
∵BC⊥AC
∴点P₁为直线BC与对称轴直线的交点，
由题意，得
解之，得
∴
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P₂，使AP₂⊥AC，过点A作AP₂⊥BC，交对称轴直线于点P₂，
∵CD=OA，
∴A（0，2），
易求得直线AP₂的解析式为，
由   得
∴
∴满足条件的点有两个，坐标分别为。