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题目
题型:中考真题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD。
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标。
答案

解(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,得 x1=3,x2=﹣1,
∵m<n,
∴m=﹣1,n=3,
∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3),
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax2+bx,
解得:
∴抛物线的解析式为
(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b,
解得:
∴直线AB的解析式为
∴C点坐标为(0,),
∵直线OB过点O(0,0),B(3,﹣3),
∴直线OB的解析式为y=﹣x,
∵△OPC为等腰三角形,
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC,
设P(x,﹣x),
(i)当OC=OP时,
解得(舍去),
∴P1),
(ii)当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,
∴P2,﹣),
(iii)当OC=PC时,由,解得,x2=0(舍去),
∴P3,﹣),
∴P点坐标为P1)或P2,﹣)或P3,﹣),
②过点D作DG⊥x轴,垂足为G,交OB于Q,过B作BH⊥x轴,垂足为H,
设Q(x,﹣x),D(x,),
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ
=DQ·OG+DQ·GH,
=DQ(OG+GH),
=
=
∵0<x<3,
∴当时,S取得最大值为,此时D(,﹣)。

核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三

如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点.点D的坐标为(- ,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点。
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF,设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3 )。
①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围。(写出答案即可)



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某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表:
(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式;
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较的大小,并解释比较结果的实际意义。
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某企业为了增收节支,设计了一款成本为20 元∕件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
(1 )把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,根据所描出的点猜想y是x的什么函数,并求出函数关系式;    
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)    
(3)当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
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已知:如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P。
(1)求点P的坐标;
(2)请判断△OPA的形状并说明理由;
(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动(E不与点O,A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B,设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S。
求:①S与t之间的函数关系式;
②当t为何值时,S最大,并求出S的最大值。
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如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度12米时,球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°,O、A两点相距8米。
(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式;
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点?
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