题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x²﹣2x﹣3=0的两根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD。
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标。

答案

解（1）解方程x²﹣2x﹣3=0，得 x₁=3，x₂=﹣1，
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3，
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∴解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴解得：，
∴直线AB的解析式为，
∴C点坐标为（0，），
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x，
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC，
设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时，，
解得，（舍去），
∴P₁（，），
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P₂（，﹣），
（iii）当OC=PC时，由，解得，x₂=0（舍去），
∴P₃（，﹣），
∴P点坐标为P₁（，）或P₂（，﹣）或P₃（，﹣），
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H，
设Q（x，﹣x），D（x，），
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ
=DQ·OG+DQ·GH，
=DQ（OG+GH），
=，
=，
∵0＜x＜3，
∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）。