题目
题型:浙江省中考真题难度:来源:
(2)如图2,若抛物线y=a(x-m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式;
(3)如图3,若抛物线y=a(x-m)2+n的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩形。
①用含b的代数式表示m、n的值;
②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示),若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)由已知得B(2,1),A(0,5),
设所求直线的解析式为y=kx+b,则,解得,
∴所求直线的解析式为y=-2x+5;
(2)如图1,作BE⊥AC于点E,由题意得四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为(0,-3),点C的坐标为(0,3),可得AC=6,
∵□ABCD的面积为12,
∴S△ABC=6,即S△ABC=AC·BE=6,
∴BE=2,
∵m>0,即顶点B在y轴的右侧,且在直线y=x-3上,
∴顶点B的坐标为B(2,-1)又抛物线经过点A(0,-3),
∴a=-,
∴y=-(x-2)2-1;
(3)①如图2,作BE⊥x轴于点E,
由已知得:A的坐标为(0,b),C的坐标为(0,-b),
∵顶点B(m,n)在直线y=-2x+b上,
∴n=-2m+b,即点B的坐标为(m,-2m+b),
在矩形ABCD中,OC=OB,OC2=OB2,
即b2=m2+(-2m+b)2,
∴5m2-4mb=0,
∴m(5m-4b)=0,
∴m1=0(不合题意,舍去),m2=b,
∴n=-2m+b=-2×b+b=-b;
②存在,共四个点如下:
P1(b,b),P2(b,b),P3(b,b),P4(b,-b)。
图2
核心考点
试题【已知抛物线y=a(x-m)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B,点A、B关于原点O的对称点分别为C、D,若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上,则称四边形AB】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线l1,抛物线,直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由。
(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标。
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N,将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN,在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式。
(2)操作:固定△ABC,将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动,直到点D与点C重合时停止,设运动时间为x秒,运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图2)。
①探究1:在运动过程中,四边形AEF′F能否是菱形?若能,请求出此时x的值;若不能,请说明理由。
②探究2:设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
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