题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点，若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x²-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°。
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d₁、d₂，试求的d₁+d₂的最大值。

答案

解：（1）解方程得，

而则点A的坐标为，点B的坐标为 ，
过点D作轴于D₁，则D₁为AB的中点，
∴D₁的坐标为，
又因为，
∴
∴D的坐标为 ，
令抛物线对应的二次函数解析式为，
∵抛物线过点
则
故抛物线对应的二次函数解析式为（或写成）；
（2）∵，
又∵
∴
令点C的坐标为则有，
∵点C在抛物线上，
∴
化简得解得（舍去），
故点C的坐标为；
（3）由（2）知
∴
过A作，
∵
∴
∵
∴

即此时的最大值为。