题目

题型：江苏省中考真题难度：来源：

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（，0），且△AOB∽△BOC。
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax²+bx+3的关系式；
（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意，得B（0，3）
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB=∠OBC，
∴
∴OC=4，
∴C（4，0）
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°
∴∠ABC=90°
∵y=图象经过点A（-，0），C（4，0）
∴
∴（2）①如图1，当CP=CO时，点P在以BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径
∴∠BPM=90°，
∴PM∥AB
∴△CPM∽△CBA
∴
得CM=5
∴m=-1。②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC=2.5
由△CPM∽△CBA，得CM=
∴m=4-。③当OC=OP时，M点不在线段AC上
综上所述，m的值为或-1。