题目

题型：重庆市中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代入中得

∴
∴抛物线解析式为：。
（2）存在
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称
∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：
Q点坐标即为的解
∴
∴Q（-1，2）。
（3）存在。
理由如下：
设P点
∵
若有最大值，则就最大
∴

=
=
当时，最大值=
∴最大=
当时，
∴点P坐标为。