题目

题型：江苏期中题难度：来源：

从椭圆（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20，求椭圆方程．

答案

解：（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），
∴，
∵AB∥OM，
所以k_AB=k_OM，即，
从而得到，
∴离心率．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴，
又因为，
所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，
所以．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵，
所以，
所以直线F₂Q的方程：y=（x﹣c）
直线与椭圆联立，
消元可得5x²﹣8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，
，
由弦长公式可得
，
又因为F₁到直线的距离，
因为，
所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以椭圆的方程为．