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题目
题型:浙江省中考真题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC,过点B作x轴的垂线交直线AC于点D,设点B坐标是(t,0)。
(1)当t=4时,求直线AB的解析式;
(2)当t>0时,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积;
(3)是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点B的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)当t=4时,B(4,0)
设直线AB的解析式为y= kx+b
把 A(0,6),B(4,0) 代入得:
解得:
∴直线AB的解析式为y=-x+6.
(2)过点C作CE⊥x轴于点E
由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,
得△AOB∽△BEC


∴点C的坐标为(t+3,
S梯形AOEC=
S△AOB=
S△BEC=
∴S△ABC= S梯形AOEC- S△AOB-S△BEC

(3)存在,理由如下:
①当t≥0时
i)若AD=BD
又∵BD∥y轴
∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,
∴∠OAB=∠BAD
又∵∠AOB=∠ABC,
∴△ABO∽△ACB


∴t=3,即B(3,0)。
ii)若AB=AD
延长AB与CE交于点G
又∵BD∥CG
∴AG=AC
过点A作AH⊥CG于H

由△AOB∽△GEB


又∵HE=AO=6,


解得:
因为 t≥0


iii)由已知条件可知,当0≤t<12时,∠ADB为钝角,
故BD≠AB
当t≥12时,BD≤CE<BC<AB
∴当t≥0时,不存在BD=AB的情况。
②当-3≤t<0时,∠DAB是钝角
设AD=AB,
过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F
可求得点C的坐标为

由BD∥y轴,AB=AD得,
∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB
∴∠BAO=∠FAC,
又∵∠AOB=∠AFC=90°,
∴△AOB∽△AFC,



解得
因为-3≤t<0
所以

③当t<-3时,∠ABD是钝角
设AB=BD,过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F,
可求得点C的坐标为

∵AB=BD,
∴∠D=∠BAD
又∵BD∥y轴,
∴∠D=∠CAF,
∴∠BAC=∠CAF
又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC,
∴AF=AB,CF=BC

解得:t=-8,即B(-8,0)
综上所述,存在点B使△ABD为等腰三角形,此时点B坐标为:
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC,过点B作x轴】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四边形ABCD是矩形,A、B两点在x轴的正半轴上, C、D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为(    )。

题型:云南省中考真题难度:| 查看答案
某商场在销售旺季临近时,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。
(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系;
(2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为z=-(x-8)2+12,1≤x≤11,且x为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少?
题型:重庆市中考真题难度:| 查看答案
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由。
题型:重庆市中考真题难度:| 查看答案
如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A(,0),且△AOB∽△BOC。
(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式;
(2)在线段AC上是否存在点M(m,0),使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
题型:江苏省中考真题难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ,设AP=x。
(1)当PQ∥AD时,求x的值;
(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;
(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围。
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