题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，-1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设y=a（x-2）²-1，将C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直线y=kx+b过（3，0），（0，3），则：

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴AB的解析式为：y=-x+3．
由题意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴当t=

3

2

时，l取最大值，
此时P点的坐标为[

3

2

，（

3

2

）²-4×（

3

2

）+3]，
即P（

3

2

，-

3

4

）．

（3）①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F．
此时当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形．
∵P（

3

2

，-

3

4

），
∴可令F（x，

3

4

）或F（x，-

3

4

）．
∴x²-4x+3=

3

4

或x²-4x+3=-

3

4

，
解之得x₁=

4- 7

2

，x₂=

4+ 7

2

，x₃=

5

2

，x₄=

3

2

．
但当x₁=

3

2

时，F点与P点重合，不能构成平行四边形．
满足条件的F点有三个，即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃（

5

2

，-

3

4

）；
②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F为顶点的平行四边形，
则有PF∥AE，即F₂的纵坐标与P点的纵坐标相同，即x²-4x+3=-

3

4

，
此种情况在①中已求得F₃的坐标．
综上所述，满足条件的F点的坐标有三个，
即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃

5

2

（，-

3

4

）．