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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的⊙P交BC于H.点A,B在x轴上,点H在y轴上,B点的坐标为(1,0).
(1)求点A,H,C的坐标;
(2)过H点作AC的垂线交AC于E,交x轴于F,求证:EF是⊙P的切线;
(3)求经过A,O两点且顶点到x轴的距离等于4的抛物线解析式.
答案
如图
(1)连接AH,
∵AB是⊙P的直径,
∴∠AHB=90°(1分)
∵∠HOB=90°,∠OHB=∠HAO,
∴△HOB△AOH
∴OH2=OA•OB,
∴OH2=4×1
∴OH=2(2分)
过C点作CM⊥y轴于M,
∵AB=AC,∠AHB=90°
∴CH=HB(3分)
∵∠CHM=∠OHB,△CHM≌△BHO
∴CM=OB,MH=OH,
∴OM=4,CM=1,(4分)
∴A(-4,0),H(0,2),C(-1,4)(写错一个不扣分)(5分)
(或过C点作CM⊥x轴于M,用中位线定理求得OM=1,CM=4).

(2)证法一:连接HP,
∵CH=BH,AP=PB,
∴HPAC,(6分)
∵EF⊥AC,
∴PH⊥EF,(7分)
∴EF是⊙P的切线.(8分)
证法二:
∵AB=AC,
∴∠ACH=∠ABH,
∵HP=PB,
∴∠PHB=∠PBH
∴∠PHB=∠ACH(6分)
∵∠ACH+∠EHC=90°,∠EHC=∠BHF
∴∠PHB+∠BHF=90°(7分)
∴EF是⊙P的切线.(8分)

(3)解法一:
由题意知:抛物线的顶点坐标为(-2,4)或(-2,-4),(9分)
设抛物线方程为y=a1(x+2)2+4或y=a2(x+2)2-4(10分),
分别代入x=0,y=0得:a1=-1,a2=1,(11分)
∴抛物线的解析式为y=-(x+2)2+4或y=(x+2)2-4.(12分)
解法二:(简要过程)
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c,代入顶点坐标(-2,4)或(-2,-4)(9分)
以及(0,0),(-4,0)得两个三元一次方程组,(10分)
解方程组得c1=0,a1=-1,b1=-4;c2=0,a2=1,b2=4;(11分)
∴抛物线的解析式为y=x2+4x或y=-x2-4x.(12分)
核心考点
试题【如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的⊙P交BC于H.点A,B在x轴上,点H在y轴上,B点的坐标为(1,0).(1)求点A,H,C的坐标;(2)过H】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
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如图,四边形ABCD是正方形,已知A(5,4),B(10,4):
(1)求点C、D的坐标;
(2)若一次函数y=kx+3(k≠0)的图象过C点,求k的值;
(3)在(2)的条件下,①若将直线l:y=kx+3向下平移a个单位,将正方形分为上下两部分的面积比为7:3,试求出a的值;②若将直线l:y=kx+3平移后与以A为圆心,AC为半径的圆相切,直接写出平移后的直线的解析式.
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如图,抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4).该抛物线顶点为P.
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
(2)求△PAB的面积;
(3)若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式.
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如图,点P在y轴上,⊙P交x轴于A,B两点,连接BP并延长交⊙P于C,过点C的直线y=2x+b交x轴于D,且⊙P的半径为


5
,AB=4.
(1)求点B,P,C的坐标;
(2)求证:CD是⊙P的切线;
(3)若二次函数y=-x2+(a+1)x+6的图象经过点B,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围.
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已知:在四边形ABCD中,AB=1,E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设四边形EFGH的面积为S,AE=x(0≤x≤1).
(1)如图①,当四边形ABCD为正方形时,
①求S关于x的函数解析式,并求S的最小值S0
②在图②中画出①中函数的草图,并估计S=0.6时x的近似值(精确到0.01);
(2)如图③,当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
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