题目

题型：四川省月考题难度：来源：

设函数，（a∈R）．
（1）若a=1，证明：当x＞﹣1时，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N且n＞1求证：．

答案

（1）证明：a=1时，x＞﹣1时，f（x）≥0，即，
亦即1﹣（x+1）e^﹣x≥0，即e^x≥x+1
因此只要证当x＞﹣1时，e^x≥x+1
构造函数g（x）=e^x﹣x﹣1，
∴g′（x）=e^x﹣1
当x≥0时，g′（x）≥0；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0
∴g（x）在[0，+∞）上单调增，（﹣1，0]上单调减
∴g（x）_min=g（0）=0
∴g（x）≥0，即当x＞﹣1时，e^x≥x+1
∴当x＞﹣1时，f（x）≥0；
（2）解：f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，等价于x≥0时，恒成立
∵1﹣e^﹣x∈[0，1），
∴
∴若x=0时，0=0，此时a∈R；
若x＞0，ax+1＞0，
∴，
∴a≥0 ∴a≥0，
x≥0时，恒成立，等价于（1﹣e^﹣x）（ax+1）﹣x≤0恒成立
令h（x）=（1﹣e^﹣x）（ax+1）﹣x，
∴h′（x）=a（1﹣e^﹣x）+（ax+1）e^﹣x﹣1
∴h″（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1）
∵a≥0，x≥0，
∴h″（x）≤（2a﹣1）e^﹣x
①若2a﹣1≤0，即  时，h″（x）≤0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调减，
∴h′（x）≤h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调减，
∴h（x）≤h（0）=0，
∴f（x）≤0，满足题意；
②若2a﹣1＞0，即时，当时，h""（x）＞0，
∴h′（x）在[0，+∞）上单调增，
∴h′（x）＞h（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调增，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴f（x）＞0，不满足题意；
综上知，实数a的取值范围为 ；
（3）证明：由（2）知，当a=时，，
∴，
当x∈（0，2）时，，
∴令，
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴